В качестве методов совершенствования нами предлагается методика формирования инвестиционного портфеля на основе альтернативных теорий эффективного портфеля на основе математического моделирования
Известны математические модели теории эффективного портфеля, основанные на работах Марковица. К сожалению, сложность этих моделей ограничивает их практическое применение. Однако главная причина заключается даже не в сложности, а в типичном противоречии между точностью вычислительного алгоритма и возможностью получения достоверных исходных данных для его реализации. Другими словами, теоретически обоснованные и точные расчеты часто выполняются на основе заведомо недостоверных данных, поскольку в реальной жизни получить необходимую информацию в полном объеме практически невозможно. Понятно, если на вход компьютера мы подаем мусор, то независимо от количества производимых с ним манипуляций на выходе мы его и получаем. Прежде всего, это касается проблемы статистических зависимостей между различными активами. Разумеется, получение оценок линейных коэффициентов корреляции по известным временным рядам доходности является тривиальной задачей. Однако учет этих оценок вследствие их неизбежной условности представляет лишь теоретический интерес, неоправданно усложняя задачу. С точки зрения автора, при разработке управленческих решений надо в принципе отказаться от идеи поиска глобального оптимума, а использовать приближенные методы, соответствующие возможной точности исходной информации.
B данной главе предлагается алгоритм принятия решения о выборе рациональной структуры набора инвестиций по стандартным критериям доходности и риска. При этом рассматривается только несистематический (диверсифицируемый) риск, управляемый менеджером портфеля.
Bероятностная модель
Эффект диверсификации, обеспечивающий снижение риска, в определенной мере аналогичен эффекту резервирования (дублирования) в теории надежности систем [3]. При этом параллельно с основным элементом работает один или несколько резервных (рис.1).
Pисунок 4. Параллельная система
Hадежность системы в целом определяется по уравнению:
(1)
где рS - надежность системы;
рi – надежность i-го элемента;
n – число элементов.
Под надежностью в этом случае понимают вероятность того, что случайное время работы элемента или системы будет больше или равно заданному. Из формулы (1) видно, что при любой надежности элементов можно создать систему требуемой надежности. На этом принципе основан синтез надежных систем из ненадежных компонент. Если все составляющие элементы имеют одинаковую надежность рi=р, то число необходимых элементов для обеспечения заданной надежности системы рS можно найти из формулы, которая следует из (1):
(2)
Tаким образом, добавление каждого следующего элемента снижает риск для системы в целом. Например, мы имеем несколько независимых и равноценных по эффективности проектов, но по разным объектам инвестирования и шансы каждого из них – пятьдесят на пятьдесят. Тогда вероятность успеха при реализации лишь одного проекта, как видно из формулы (1), остается такой же, то есть – 0.5; в случае двух – 0.75; трех – 0.875; четырех – 0.937 и т.д. Оценка риска определяется как дополнение до единицы. Число параллельно работающих инвестиций можно назвать кратностью диверсификации. Темп роста эффективности диверсификации J с увеличением ее кратности n определяется по формуле, которая следует из (2):
Eсли элементы взаимодействуют последовательно, что также имеет место в анализе эффективности инвестиций, то надежность системы определяется как произведение соответствующих показателей для структурных составляющих.
(3)
Oтсюда следует, что для обеспечения требуемой эффективности последовательной системы необходимы более высокие показатели каждого звена, причем с увеличением числа звеньев общая надежность уменьшается.
B обеих системах (параллельная и последовательная) под надежностью понимается вероятность безотказной работы, то есть вероятность того, что случайное время работы элемента или системы будет равно или больше заданного. Конечно, при формировании и использовании инвестиционного портфеля никаких отказов не происходит. Но, имея предполагаемый набор активов и статистические характеристики каждого из них, можно установить границы доходности, вероятность превышения которых соответствует вероятности успеха, а вероятность непревышения – риску потерь:
(4)
(5)
где рx – вероятность получения доходности равной или больше заданной хЗ;
qx – вероятность неполучения заданной доходности хЗ (риск).
B качестве исходной информации используется средняя доходность (), среднее квадратическое отклонение (s х) и коэффициент вариации (Vx), полученные обработкой временных рядов за несколько предыдущих лет по каждому виду активов:
где xi – значение доходности в году с номером i, %;
n – число лет, по которым имеется информация;
средний квадрат случайной величины х;
- дисперсия х;
- квадрат средней доходности.
Из формулы для дисперсии следует, что средний квадрат случайной величины одним числом оценивает среднее значение случайной величины и степень рассеивания ее относительно среднего:
Hа основании этого свойства c 2 широко используют для оценки точности систем управления. На практике удобнее использовать арифметическое значение квадратного корня из среднего квадрата, имеющее размерность случайной величины.
Eсли данных о динамике доходности нет или их недостаточно, то исходные статистические характеристики можно получить на основе индивидуальных или групповых экспертных оценок:
где xmin, xнв, xmax – пессимистическая, наиболее вероятная и оптимистическая оценка предполагаемой годовой нормы прибыли по данному активу соответственно.
Oднако для решения поставленной задачи необходимо знать законы распределения доходности по каждому виду активов, которые обычно неизвестны. Поэтому вводим вполне реальные допущения относительно вида этих законов.
Eсли известно, что возможны отклонения доходности относительно наиболее вероятного значения в обе стороны и коэффициент вероятности Vx£ 0.33, то принимаем нормальный закон распределения, который зависит от двух параметров и s х. Вероятность px получения дохода, больше или равного заданной величины х3:
(11)
где F0(u) – табулированная функция.
Eсли коэффициент вариации доходности актива по исходной информации Vx>0.33, принимаем распределение Вейбулла-Гнеденко. Выбор этого закона обусловлен, в частности, теми же причинами, что и популярность степенной функции в задачах моделирования, прогнозирования и оптимизации: малое число коэффициентов и гибкая структура. Вероятность рХ получения доходности, большей или равной заданной хз определяется по формуле:
(12)
где m и x0 – параметры формы и масштаба соответственно.
Параметры m и x0 определяют по таблицам в зависимости от значения коэффициента вариации, полученного в результате обработки исходной информации. Если таблиц нет, а коэффициент вариации находится в пределах 0.33¸ 0.72, то для приближенной оценки можно использовать следующие соотношения:
(13)
Данный закон в зависимости от параметра формы пригоден для экспоненциального распределения доходности (m=1), распределения Релея (m=2) и близкого к нормальному (m³ 3), то есть является достаточно универсальным. Кроме того, в общем случае, плотность вероятностей имеет правостороннюю асимметрию (скошено влево), что соответствует экономической сущности явления: вероятность больших доходов значительно меньше, чем сравнительно малых.
При формировании портфеля инвестиций с вероятностной точки зрения происходит композиция распределений по отдельным активам, поэтому основной задачей является нахождение и изучение поведения закона распределения суммы независимых слагаемых. Ecли число активов портфеля достаточно велико, то в соответствии с центральной предельной теоремой закон распределения доходности портфеля в целом является нормальным независимо от распределения составляющих элементов и их доли в портфеле. Например, композиция двух одинаковых равномерных распределений дает треугольное, а трех – близкое к нормальному.
Похожие рефераты:
|
Дипломные работы 
