Известны математические модели теории эффективного портфеля, основанные на работах Марковица [1,2]. К сожалению, сложность этих моделей ограничивает их практическое применение. Однако главная причина заключается даже не в сложности, а в типичном противоречии между точностью вычислительного алгоритма и возможностью получения достоверных исходных данных для его реализации. Другими словами, теоретически обоснованные и точные расчеты часто выполняются на основе заведомо недостоверных данных, поскольку в реальной жизни получить необходимую информацию в полном объеме практически невозможно. Понятно, если на вход компьютера мы подаем мусор, то независимо от количества производимых с ним манипуляций на выходе мы его и получаем. Прежде всего, это касается проблемы статистических зависимостей между различными активами. Разумеется, получение оценок линейных коэффициентов корреляции по известным временным рядам доходности является тривиальной задачей. Однако учет этих оценок вследствие их неизбежной условности представляет лишь теоретический интерес, неоправданно усложняя задачу. С точки зрения автора, при разработке управленческих решений надо в принципе отказаться от идеи поиска глобального оптимума, а использовать приближенные методы, соответствующие возможной точности исходной информации.
В данной главе предлагается алгоритм принятия решения о выборе рациональной структуры набора инвестиций по стандартным критериям доходности и риска. При этом рассматривается только несистематический (диверсифицируемый) риск, управляемый менеджером портфеля.
Вероятностная модель
Эффект диверсификации, обеспечивающий снижение риска, в определенной мере аналогичен эффекту резервирования (дублирования) в теории надежности систем [3]. При этом параллельно с основным элементом работает один или несколько резервных (рис.1).
Рисунок 1. Параллельная система
Надежность системы в целом определяется по уравнению:
(1)
где рS - надежность системы;
рi – надежность i-го элемента;
n – число элементов.
Под надежностью в этом случае понимают вероятность того, что случайное время работы элемента или системы будет больше или равно заданному. Из формулы (1) видно, что при любой надежности элементов можно создать систему требуемой надежности. На этом принципе основан синтез надежных систем из ненадежных компонент. Если все составляющие элементы имеют одинаковую надежность рi=р, то число необходимых элементов для обеспечения заданной надежности системы рS можно найти из формулы, которая следует из (1):
(2)
Таким образом, добавление каждого следующего элемента снижает риск для системы в целом. Например, мы имеем несколько независимых и равноценных по эффективности проектов, но по разным объектам инвестирования и шансы каждого из них – пятьдесят на пятьдесят. Тогда вероятность успеха при реализации лишь одного проекта, как видно из формулы (1), остается такой же, то есть – 0.5; в случае двух – 0.75; трех – 0.875; четырех – 0.937 и т.д. Оценка риска определяется как дополнение до единицы. Число параллельно работающих инвестиций можно назвать кратностью диверсификации. Темп роста эффективности диверсификации J с увеличением ее кратности n определяется по формуле, которая следует из (2):
Видно, что увеличение кратности оказывает наибольшее влияние при малых значениях n. Например, реализация одновременно двух проектов снижает риск на 50%, четырех - на 87%, пяти – на 94%. Предельное значение при дальнейшем увеличении кратности равно 100%.
Если элементы взаимодействуют последовательно (рис.2), что также имеет место в анализе эффективности инвестиций, то надежность системы определяется как произведение соответствующих показателей для структурных составляющих (рис.2).
Рисунок 2. Последовательная система
(3)
Портфель ОАО «Прогресс М» должен состоять из двух видов ценных бумаг, статистические характеристики которых даны в табл.17. Коэффициент корреляции между активами равен нулю. Параметры m и x0 найдены по таблицам распределения Вейбулла-Гнеденко.
Таблица 17.
Статистические характеристики ценных бумаг
Вид бумаги Средняя доходность
Стандартное отклонение
s х Коэффициент вариации
Vx Параметр формы
m Параметр масштаба
х0
1 2 0,8 0,40 2,70 2,25
2 3 1,1 0,37 2,94 3,36
Задаемся рядом значений требуемой доходности портфеля в диапазоне возможных значений, например: 1; 1.5; 2.0; 2.5; 3.0; 3.5. Далее по формуле (12) определяем соответствующие вероятности их получения для обеих бумаг pх1 и pх2. Результаты сведены в табл.18.; здесь же даны вероятности противоположных событий qx1 и qx2, то есть риск неполучения заданного дохода.
Таблица 18.
Результаты расчетов
хЗ pх1 pх2 qx1 qx2
1.0 0.89 0.97 0,11 0,03
1.5 0,71 0,91 0,29 0,09
2.0 0,48 0,80 0,52 0,20
2.5 0,26 0,66 0,74 0,34
3.0 0,11 0,49 0,89 0,51
3.5 0,04 0,32 0,96 0,68
Вероятности pх1 и pх2 означают, что, например, при заданной доходности хз=2, эту доходность могут обеспечить акции первого вида в 48 случаях из 100, а акции второго вида в 80 случаях из 100. Отсюда следует, что при заданной доходности удельные веса каждого вида актива должны быть пропорциональны этим значениям, то есть их надо пронормировать в долях единицы:
Используя полученные значения, можно определить статистические характеристики данного портфеля.
Средний доход:
Стандартное отклонение:
Коэффициент вариации:
Результаты расчета статистических характеристик для шести вариантов портфелей даны в табл.19.
Таблица 19
Результаты расчета статистических характеристик
xз a 1 a 2 s S VS рS qS
1.0 0,48 0,52 2,52 0,69 0,27 0,99 0,01
1.5 0,44 0,56 2,56 0,71 0,28 0,93 0,07
2.0 0,37 0,63 2,63 0,75 0,28 0,80 0,20
2.5 0,28 0,72 2,72 0,82 0,30 0,60 0,40
3.0 0,18 0,82 2,82 0,91 0,32 0,43 0,57
3.5 0,12 0,88 2,88 0,97 0,34 0,26 0,74
Видно, что для любого варианта коэффициент вариации доходности портфеля VS меньше минимального из его структурных составляющих Vx1 и Vx2 (табл.17.).
Таким образом, мы получили те же результаты, что и при использовании другого типа распределения доходности и те же, но не заданные, а рассчитанные по предлагаемой методике. На основе таблиц функции нормального закона рассчитаны показатели риска рS и qS для портфеля в целом по расчетным характеристикам и . Оценки этих показателей можно получить в виде средней арифметической рS а и средней геометрической рS г с весами, равными доле каждого актива в наборе инвестиций:
(16)
(17)
где рi – вероятность превышения заданной доходности по i-му активу;
– доля i-го актива в портфеле.
Поскольку взвешенное среднее арифметическое является нижней границей для среднего арифметического с теми же весами:
(18)
то оценка вероятности по формуле для рS а всегда несколько меньше рS г за исключением случая, когда все qi равны между собой и тогда рS а = рS г. Следует, кстати, отметить, что это важное свойство является основой геометрического программирования в теории оптимизации.
Полученные результаты в принципе позволяют лицу, принимающему решение, выбрать приемлемый вариант с учетом увеличения риска при росте доходности портфеля. В качестве количественного критерия для выбора оптимального варианта можно использовать любой из известных критериев принятия решения в условиях риска: ожидаемого значения, наиболее вероятного (модального) значения, предельного уровня, ожидаемого значения с учетом его вариации [6].
Критерий ожидаемого значения в данном случае формулируется в виде:
(19)
где xзi и рS i – заданная доходность и ее вероятность для портфеля в целом.
Критерий наиболее вероятного значения предполагает выбор по правилу:
(20)
где xm – модальное значение доходности.
Для распределения Вейбулла-Гнеденко эта величина определяется по формуле:
где х0 и m – параметры масштаба и формы соответственно.
Критерий предельного уровня в данном случае является квантилью соответствующего распределения. Для закона Вейбулла-Гнеденко при заданной вероятности g предельный уровень хg определяется по формуле:
(22)
Обычно g принимают равной 0.8, 0.9, 0.95. Для нормального распредельного распределения:
(23)
где k – табличный коэффициент в зависимости от принятого уровня вероятности g (k80=0.842; k90=1.282; k95=1.645).
Последний критерий “ожидаемое значение с учетом его вариации” в данном случае практически полностью совпадает с предыдущим и тоже формулируется в виде:
(24)
Разница заключается лишь в том, что лицо, принимающее решение, может выбрать значение k намного больше единицы в зависимости от его “несклонности” к риску, например, k=2 и более. Используя последний критерий при k=2 получим, что наиболее приемлемым вариантом является второй, хотя значения критерия для первых трех вариантов мало отличаются друг от друга (1.14, 1.15, 1.13), а последующие три варианта имеют значения критерия соответственно: 1.08, 1.00, 0.94.
Похожие рефераты:
|
Дипломные работы 
